Teknik Eliminasi Gauss
Teknik Eliminasi Gauss
Kakandayonik - Teknik eliminasi Gauss adalah salah satu metode yang digunakan dalam matematika untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Metode ini bekerja dengan mengubah sistem persamaan linear menjadi bentuk matriks dan kemudian mengeliminasi koefisien yang tidak diinginkan dengan melakukan operasi baris elemen pada matriks tersebut. Metode eliminasi Gauss juga dikenal sebagai metode eliminasi mundur atau metode eliminasi Gauss–Jordan.
Metode eliminasi Gauss biasanya digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan lebih efisien daripada metode subsitusi forward atau metode matriks balikan. Hal ini disebabkan karena metode eliminasi Gauss dapat menemukan solusi untuk sistem persamaan linear yang lebih cepat dengan menghindari manipulasi matriks yang berulang-ulang. Dalam metode eliminasi Gauss, sejumlah operasi baris elemen dilakukan pada matriks sistem persamaan linear sehingga diperoleh matriks segitiga atas atau matriks reduksi baris tereduksi.
Metode eliminasi Gauss bertujuan untuk mengubah matriks sistem persamaan linear menjadi bentuk matriks reduksi baris tereduksi atau matriks segitiga atas. Matriks segitiga atas adalah matriks yang elemennya berada di atas diagonal bernilai nol, sedangkan matriks reduksi baris tereduksi adalah matriks segitiga atas yang diagonalnya terdiri dari satu. Dalam proses eliminasi Gauss, matriks sistem persamaan linear diubah menggunakan tiga jenis operasi baris elemen, yaitu:
- 1. Mengalikan suatu baris dengan bilangan bukan nol.
- 2. Menukar dua baris.
- 3. Menambahkan kelipatan suatu baris pada baris lain.
Untuk menjalankan metode eliminasi Gauss, pertama-tama, sistem persamaan linear diubah menjadi matriks sistem persamaan linear. Langkah ini dapat dilakukan dengan menuliskan koefisien dari masing-masing variabel pada sisi kiri matriks dan nilai konstan pada sisi kanan matriks. Maka, akan diperoleh matriks seperti berikut ini:
[ a11 a12 a13 ... a1n | b1 ]
[ a21 a22 a23 ... a2n | b2 ]
[ a31 a32 a33 ... a3n | b3 ]
[ ... ... ... ... ... | ... ]
[ am1 am2 am3 ... amn | bm ]
Setelah matriks sistem persamaan linear diperoleh, operasi baris elemen dilakukan pada matriks tersebut hingga diperoleh matriks segitiga atas atau matriks reduksi baris tereduksi. Prosedur umum untuk melakukan eliminasi Gauss adalah sebagai berikut:
- 1. Menentukan elemen utama dari kolom pertama. Elemen utama adalah elemen pertama dari baris pertama atau elemen terbesar dari kolom pertama.
- 2. Menggunakan operasi baris elemen untuk membuat nol pada kolom pertama selain elemen utama. Operasi baris elemen yang dilakukan pada baris ke-i adalah aij-(ai1/1)*(aj1/1). Dalam hal ini, aij adalah elemen matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j.
- 3. Meneruskan proses untuk kolom-kolom berikutnya dan mengurangi jumlah variabel yang belum diketahui di setiap langkah.
Contoh:
Misalnya, sistem persamaan linear berikut ini ingin diselesaikan menggunakan metode eliminasi Gauss:
3x + 2y − z = 1
2x − 2y + 4z = −2
−x + ½ y − z = 0
Maka, matriks sistem persamaan linear dapat ditulis sebagai berikut:
[ 3 2 -1 | 1 ]
[ 2 -2 4 | -2 ]
[ -1 ½ -1 | 0 ]
Langkah-langkah eliminasi Gauss kemudian dilakukan pada matriks tersebut sebagai berikut:
1. Mengurutkan baris matriks berdasarkan elemen utama.
[ 3 2 -1 | 1 ]
[ 2 -2 4 | -2 ]
[ -1 ½ -1 | 0 ]
2. Membuat nol pada kolom pertama selain elemen utama dengan mengalikan baris pertama dengan -2/3 dan menambahkan pada baris kedua. Kemudian, membagi baris ketiga dengan -3.
[ 3 2 -1 | 1 ]
[ 0 -8/3 10/3 |-4/3 ]
[ 0 7/3 -2/3 | 1/3 ]
3. Menjadikan elemen kedua dari kolom kedua adalah elemen utama dengan menukar baris kedua dan ketiga.
[ 3 2 -1 | 1 ]
[ 0 7/3 -2/3 | 1/3 ]
[ 0 -8/3 10/3 | -4/3 ]
4. Membuat nol pada kolom kedua selain elemen utama dengan mengalikan baris kedua dengan 8/21 dan menambahkan pada baris ketiga.
[ 3 2 -1 | 1 ]
[ 0 7/3 -2/3 | 1/3 ]
[ 0 0 58/21 | -10/21 ]
Maka, solusi sistem persamaan linear tersebut adalah:
x = 1/3
y = 4/21
z = -10/58
Kesimpulan
Metode eliminasi Gauss merupakan salah satu metode efektif dalam menyelesaikan sistem persamaan linear. Dengan mengubah sistem persamaan linear menjadi bentuk matriks dan melakukan operasi baris elemen, metode ini dapat menemukan solusi sistem persamaan linear dengan lebih cepat. Proses eliminasi Gauss dapat diaplikasikan pada matriks sistem persamaan linear hingga diperoleh matriks reduksi baris tereduksi. Dalam proses eliminasi Gauss, ada tiga jenis operasi baris elemen yang digunakan untuk menjadikan matriks sistem persamaan linear menjadi matriks reduksi baris tereduksi. Metode eliminasi Gauss juga dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan linier dengan lebih efisien daripada metode subsitusi forward atau metode matriks balikan.
